Sólidos de revolución

Para calcular un solido de revolución se utiliza la siguiente fórmula de volumen:
   

                                                                      b

                                          v= ∫ π [ F(x) ] dx=

                                                a

Ejemplo: Calcular el volumen del sólido de revolución de entre -1 y 1 alrededor del eje "X" sea la función f(x) = x2 + 1

        1
 v= ∫ π [x2 + 1]2 dx=
      -1

       1
v= ∫π (x4 + 2x2 + 1) dx = π  x5         2x3            1
     -1                                    ----- +  -------- + 1x |
                                               5            3              -1

      (1)       2(1)3          -1             1          2                     1           2
=π (------ +  -------- + 1)       =  ( ------ + ------ + 1) - (-  ----- -   ------- - 1)
       5            3                             5            3                    5           3

         28                28
=π ( ------- ) -  (-  ------- )
        15                 15

        56
=π(  --------) =  117
        15

Tipos de formulas

FÓRMULA                                               EJEMPLO                                 

1.- ∫1dx= x + C                                                                 ∫3dx= 3x+C



2.- ∫xn dx=   x n + 1                                                           ∫ x3 dx=  x4     
                   -----------                                                                      -------- + C
                       n + 1                                                                             4


3.-    3                                                                                  5
      ----- dx=  3in|x| + C                                                     ---- dx= 5|n|x| + C                 
        X                                                                                 X



4.- m√xn = Xn/m                                                                 ∫√12x dx= ∫12x 1/2
                                                               
                                                                                         =∫12x 1/2 +1         12x 3/2   
                                                                                                  ------------     ----------          24x 3/2
                                                                                                     1/2 + 1             1             -------------
                                                                                                                        ----------                3   
                                                                                                                             3
                                                                                                                        ---------
                                                                                                                             2

5.- ∫senxdx = -Cosx + C                                                    ∫4senxdx = 4∫-Cosx+C
                                                                                                          = -4Cosx + C


6.- Kf(x)dx = K∫f(x)dx                                                        ∫6x2 + 7x3 + 2x2 dx
                                                           
                                                                                             6x3        7x4         2x3
                                                                                           ------ +  ------- +   -------  + C
                                                                                              3            4             3

7.-      du           1                   u
      ---------- = -----  arctan( -----)+ C                                         dx            1
       a2 + u2       a                  a                                               ∫ -------- =  ------ in|x+3|  +C
                                                                                                 (9 - x2)    2(3)     |x-3|

                                                                                                               1
                                                                                                         =  ---- in|x+3| +C
                                                                                                                6      |x-3|

8.- ∫sec2 xdx = tanx+C                                                               ∫5Sec2x = 5[tanx] +C
                                                                                                                 = 5tan x +C



9.- ∫csc2 xdx = -cot x +C                                                     ∫7csc2 dx = 7∫csc2x
                                                                                                              = -7 cot x +C

Integrales Utilizando π

∫ dx = x + C丨

Ejemplos:


1.- ∫π dx = πx + C

2.- ∫π３dx = π３x + C

                                                                5x４

3.- ∫π２+ 3x２+ 5x３ dx = π２x + 3x３+ ─── + C
                                                                  4

                                                                 

                                          x                   5x３     2x９    16x３/２
4.- ∫π４+ 5x２+ 2x８+ ─── dx = πx４+ ─── + ─── + ────── + C

                                        √8x                  3            9                3

                                       5                        6x４     2x５
5.- ∫π６+ 6x３- 2x４+ ── dx = π７x + ─── - ─── + 5 |in| x + C

                                       x                           4          5

                                          8                         6x５    2x６
6.- ∫π７x + 6x４- 2x６+ ── dx = π７x + ─── - ─── + 8 |in| x + C
                                          x                           5         6

Integrales Exponenciales

En matemáticas una función exponencial es una función de la forma en la que el argumento "x" se presenta como un exponente
La forma en la que se representa una función exponencial es la siguiente:

1.- ∫ 17 e༝ dx = 17 ∫ e༝ = 17 e༝ + C

2.- ∫ 19 e༝ dx = 19 ∫ e༝ = 19 e༝ + C

3.- ∫ 29 e༝ dx = 29 ∫ e༝ = 29 e༝ + C

4.- ∫ 18 e༝ dx = 18 ∫ e༝ = 18 e༝ + C

5.- ∫ 25 e༝ dx = 25 ∫ e༝ = 25 e༝ + C

6.- ∫ 43 e༝ dx = 43 ∫ e༝ = 43 e༝ + C

7.- ∫ 21 e༝ dx = 21 ∫ e༝ = 21 e༝ + C

8.- ∫ 30 e༝ dx = 30 ∫ e༝ = 30 e༝ + C

9.- ∫ 4 e༝ dx = 4 ∫ e༝ = 4 e༝ + C

Integrales Combinadas

Una integral combinada es la que en la misma función contiene varias sub funciones o elementos a integrar de manera individual y que en conjunto nos darán un resultado.

Ejemplo:
                                    7                    x５     6x５/２     
1.-  ∫ (x４-3 x３/２+ ── + 5 dx = ─── - ───     + 14 x１/２ + 5x + C
                                   √x                    5         5

Integrales Logarítmicas

¿Qué es un logaritmo?

A instancias de las matemáticas un logaritmo es el exponente el cual es necesario elevar a una determinada cantidad positiva para qué resulten un número determinado. También se le conoce como la función inversa a una función exponencial.

Ejemplos de Integrales Logarítmicas:

        4

1.- ∫ 一 dx = 4 lnx + C

        x

        5

2.- ∫ 一 dx = 5 lnx + C

        x

        8

3.- ∫ 一 dx = 8 lnx + C

        x

        3

1.- ∫ 一 dx = 3 lnx + C

        x

Integrales Trigonométricas

Una integral se llama trigonométrica cuando el integrando se la isma está compuesto por funciones de tipo trigonométricas como:

• Seno
• Coseno
• Tangente
• Cotangente
  

Así mismo está compuesta tambien por constantes. Para integrar funciones coseno, se utiliza la siguiente fórmula o regla:

{sen x dx = - cosx + C

{sen u du = -cosu + C

Ejemplo:

∫ 5 senx dx = 5 ∫ senx dx

                   

                  = 5 ∫[- cos x + C]

              

                  = -5 cos x + C