Sólidos de revolución

Para calcular un solido de revolución se utiliza la siguiente fórmula de volumen:
   

                                                                      b

                                          v= ∫ π [ F(x) ] dx=

                                                a

Ejemplo: Calcular el volumen del sólido de revolución de entre -1 y 1 alrededor del eje "X" sea la función f(x) = x2 + 1

        1
 v= ∫ π [x2 + 1]2 dx=
      -1

       1
v= ∫π (x4 + 2x2 + 1) dx = π  x5         2x3            1
     -1                                    ----- +  -------- + 1x |
                                               5            3              -1

      (1)       2(1)3          -1             1          2                     1           2
=π (------ +  -------- + 1)       =  ( ------ + ------ + 1) - (-  ----- -   ------- - 1)
       5            3                             5            3                    5           3

         28                28
=π ( ------- ) -  (-  ------- )
        15                 15

        56
=π(  --------) =  117
        15

Tipos de formulas

FÓRMULA                                               EJEMPLO                                 

1.- ∫1dx= x + C                                                                 ∫3dx= 3x+C



2.- ∫xn dx=   x n + 1                                                           ∫ x3 dx=  x4     
                   -----------                                                                      -------- + C
                       n + 1                                                                             4


3.-    3                                                                                  5
      ----- dx=  3in|x| + C                                                     ---- dx= 5|n|x| + C                 
        X                                                                                 X



4.- m√xn = Xn/m                                                                 ∫√12x dx= ∫12x 1/2
                                                               
                                                                                         =∫12x 1/2 +1         12x 3/2   
                                                                                                  ------------     ----------          24x 3/2
                                                                                                     1/2 + 1             1             -------------
                                                                                                                        ----------                3   
                                                                                                                             3
                                                                                                                        ---------
                                                                                                                             2

5.- ∫senxdx = -Cosx + C                                                    ∫4senxdx = 4∫-Cosx+C
                                                                                                          = -4Cosx + C


6.- Kf(x)dx = K∫f(x)dx                                                        ∫6x2 + 7x3 + 2x2 dx
                                                           
                                                                                             6x3        7x4         2x3
                                                                                           ------ +  ------- +   -------  + C
                                                                                              3            4             3

7.-      du           1                   u
      ---------- = -----  arctan( -----)+ C                                         dx            1
       a2 + u2       a                  a                                               ∫ -------- =  ------ in|x+3|  +C
                                                                                                 (9 - x2)    2(3)     |x-3|

                                                                                                               1
                                                                                                         =  ---- in|x+3| +C
                                                                                                                6      |x-3|

8.- ∫sec2 xdx = tanx+C                                                               ∫5Sec2x = 5[tanx] +C
                                                                                                                 = 5tan x +C



9.- ∫csc2 xdx = -cot x +C                                                     ∫7csc2 dx = 7∫csc2x
                                                                                                              = -7 cot x +C

Integrales Utilizando π

∫ dx = x + C丨

Ejemplos:


1.- ∫π dx = πx + C

2.- ∫π３dx = π３x + C

                                                                5x４

3.- ∫π２+ 3x２+ 5x３ dx = π２x + 3x３+ ─── + C
                                                                  4

                                                                 

                                          x                   5x３     2x９    16x３/２
4.- ∫π４+ 5x２+ 2x８+ ─── dx = πx４+ ─── + ─── + ────── + C

                                        √8x                  3            9                3

                                       5                        6x４     2x５
5.- ∫π６+ 6x３- 2x４+ ── dx = π７x + ─── - ─── + 5 |in| x + C

                                       x                           4          5

                                          8                         6x５    2x６
6.- ∫π７x + 6x４- 2x６+ ── dx = π７x + ─── - ─── + 8 |in| x + C
                                          x                           5         6

Integrales Exponenciales

En matemáticas una función exponencial es una función de la forma en la que el argumento "x" se presenta como un exponente
La forma en la que se representa una función exponencial es la siguiente:

1.- ∫ 17 e༝ dx = 17 ∫ e༝ = 17 e༝ + C

2.- ∫ 19 e༝ dx = 19 ∫ e༝ = 19 e༝ + C

3.- ∫ 29 e༝ dx = 29 ∫ e༝ = 29 e༝ + C

4.- ∫ 18 e༝ dx = 18 ∫ e༝ = 18 e༝ + C

5.- ∫ 25 e༝ dx = 25 ∫ e༝ = 25 e༝ + C

6.- ∫ 43 e༝ dx = 43 ∫ e༝ = 43 e༝ + C

7.- ∫ 21 e༝ dx = 21 ∫ e༝ = 21 e༝ + C

8.- ∫ 30 e༝ dx = 30 ∫ e༝ = 30 e༝ + C

9.- ∫ 4 e༝ dx = 4 ∫ e༝ = 4 e༝ + C

Integrales Combinadas

Una integral combinada es la que en la misma función contiene varias sub funciones o elementos a integrar de manera individual y que en conjunto nos darán un resultado.

Ejemplo:
                                    7                    x５     6x５/２     
1.-  ∫ (x４-3 x３/２+ ── + 5 dx = ─── - ───     + 14 x１/２ + 5x + C
                                   √x                    5         5

Integrales Logarítmicas

¿Qué es un logaritmo?

A instancias de las matemáticas un logaritmo es el exponente el cual es necesario elevar a una determinada cantidad positiva para qué resulten un número determinado. También se le conoce como la función inversa a una función exponencial.

Ejemplos de Integrales Logarítmicas:

        4

1.- ∫ 一 dx = 4 lnx + C

        x

        5

2.- ∫ 一 dx = 5 lnx + C

        x

        8

3.- ∫ 一 dx = 8 lnx + C

        x

        3

1.- ∫ 一 dx = 3 lnx + C

        x

Integrales Trigonométricas

Una integral se llama trigonométrica cuando el integrando se la isma está compuesto por funciones de tipo trigonométricas como:

• Seno
• Coseno
• Tangente
• Cotangente
  

Así mismo está compuesta tambien por constantes. Para integrar funciones coseno, se utiliza la siguiente fórmula o regla:

{sen x dx = - cosx + C

{sen u du = -cosu + C

Ejemplo:

∫ 5 senx dx = 5 ∫ senx dx

                   

                  = 5 ∫[- cos x + C]

              

                  = -5 cos x + C

Fórmulas Básicas de Derivadas

En el proceso de la derivación se utilizan algunas fórmulas básicas o principales para derivar una función con respecto a "x" o "y", para indicar que estamos derivando se pone una comilla x' o y'.

        d
1.- ─── = 0
       dx

        d
2.- ─── = 1
       dx

        d                                d               d             d
3.- ─── (u + v - ω) = u ─── + v  ─── - ω ───
       dx                               dx            dx           dx

        d                        d
4.- ───  c • v = c  ─── v
       dx                      dx

        d
5.- ─── vｎ= n • v ｎ+1
       dx

Tipos de Integrales

Para resolver una integral debemos primero identificar de que tipo es la integral que se nos plantea observando lo siguiente:

Integral de una Raíz

Actividad

Resuelve las siguientes integrales utilizando las siguientes fórmulas:

Integral de una Raíz Cuadrada

¿Qué es una Raíz?

En matemáticas, la raíz cuadrada de un número es aquel número que al ser multiplicado por si mismo da como resultado el mismo valor, la raíz cuadrada corresponde al indice 2.

Fórmulas:

Ejemplo:

 
 

Integrales de Binomios al Cuadrado

Resuelve los siguientes binomios elevados al cuadrado, tomando en cuenta la fórmula correspondiente:

1.- (a - b)２= a２- 2ab + b２

2.- (a + b)２= a２+ 2ab + b２

• Ejemplo 1

∫(3x - 5)２

(3x)２ - 2(3x)(5) + (5)２

∫ 3x２ + 30x + 25

 3x３    30x２+ 25x 

─── - ───

    3         2

= 3x３- 15x２+ 25x +C

• Ejemplo 2

∫(3x + 5)２

(3x)２ + 2(3x)(5) + (5)２

∫ 3x２ + 30x + 25

 3x３    30x２+ 25x 
─── + ───
    3         2

= 3x３+ 15x２+ 25x +C

Integración de Funciones de Tipo Binomio y Polinomio

Ejemplo:

                                   3x３     5x４
∫( 3x２+ 5x３) dx = ─── + ─── + C
                                     3          4

Actividad 1.- Resuelve los siguientes polinomios:

                                        4x３     8x４
1.- ∫( 4x２+ 8x３) dx = ─── + ─── + C
                                         3          4


                                        6x３     8x３     14x３
2.- ∫( 6x２+ 8x２) dx = ─── + ─── = ───── + C
                                          3          4              3


                                       6x４     9x３
3.- ∫( 6x３+ 9x２) dx = ─── + ─── + C
                                          4          3


                                        4x３     5x４
4.- ∫( 4x２+ 5x３) dx = ─── + ─── + C
                                          3          4


                                        4x４     5x４    11x４
5.- ∫( 4x３+ 7x３) dx = ─── + ─── = ─── + C
                                          4           4          4


                                            5x５     6x３
6.- ∫( 5x４- 6x２+ 3) dx = ─── - ─── + 3x + C
                                              5           3



                                                  3x３     5x４     4x５
6.- ∫( 3x２+ 5x３+ 4x４) dx = ─── + ─── + ─── + C
                                                    3           4            5

Movimiento Rectilineo Uniforme

Un movimiento es rectilíneo cuando un objeto describe o presenta una trayectoria recta respecto aun observador y es uniforme cuando su velocidad es constante con el tiempo.

Actividad 1.- Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una rapidez de 20 m en 4 s.

• Determinar su aceleración y la distancia.

Fórmula de la aceleración:

      

          Vf - Vo                 (20 m)(0)

a =   ──────      a =   ──────  =  5 m/s

               t                            4 s

Fórmula de la distancia:

          1                                        1

d =   ── at２+ Vot             d =  ──(5 m/s)(4 s)２+ 0 = 40 m

          2                                        2

Actividad 2.- Un transporte parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una rapidez de 50 m en 6 s.

• Determinar su aceleración y la distancia

        Vf - Vo                 (50 m)(0)

a =   ──────      a =   ──────  =  8.33 m/s

               t                            6 s

        1                                        1

d =   ── at２+ Vot             d =  ──(8.33 m/s)(6 s)２+ 0 = 149.94 m

          2                                        2

Cinemática

La cinemática es la rama de la Mecánica, que describe el movimiento de los objetos sólidos sin considerara las causas que lo originan y se limita principalmente al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

Fórmula de la Distancia:

          d = v • t

Fórmula de la Velocidad:

                 d
         v = ──
                 t

Ejemplo 1

Un auto se ha movido una distancia de 100 m recorridos en un tiempo de 20 s. ¿A qué velocidad se mueve el auto?

Datos              Fórmula           Sustitución                      Resultado

                                d                  (100 m)                         = 5 m/s
d= 100 m         v = ──              ──────       
t= 20 s                     t                    (20 s)
v= ?




Ejemplo 2

Un motociclista al ir en una carretera observa un rayo en una tormenta eléctrica, mide el tiempo que pasa entre ese momento que observa la luz y el sonido que emite. Este tiempo es de 6 s,¿Qué tan lejos se generó el rayo?

Datos                  Fórmula          Sustitución                   Resultado

v= 340 m/s         d = v • t         d = (340 m/s)(6 s)          = 2040 m/s２
t = 6 s
d= ?

Teoremas de una Integral o Antiderivada

1.- Integral de la Diferencial de una Variable.

             ∫ dx = x + C

2.- La Integral de la Potencia de la Función Identidad.

                              xｎ+1
            ∫xｎdx =  ───── + C

                              ｎ+ 1

3.- Integral del Producto de una constante por una Función.

            ∫ af(x) dx = a ∫ f(x) dx

4.- Integral de Suma o Resta de Funciones.

           ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Crecimiento Lineal y Exponencial

Existen dos tipos muy diferentes de crecimiento de una magnitud: el lineal y el exponencial que también son denominados como progresión aritmética y progresión geométrica respectivamente. En un crecimiento lineal la magnitud va aumentando por la adición, suma de una cantidad constante 

por ejemplo:

"Cada hora aumenta 20° la temperatura de un sarten, comenzando con una temperatura inicial de 60°

¿Cuantos grados tendrá el sarten en 5 hrs?"

160° en 5hrs

Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivada de una función integral de la función continua f(x) es la propia función de x. Este teorema nos indica que la derivación y la integración son operaciónes inversas, de ahí los nombres de derivada y antiderivada (integral).

Al integrar una función continua y luego derivarlas se recupera la función original.

• Ejemplo: 

Concepto de Integral Definida

La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del análisis matemático. La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales donde x = a y x = b.

Antiderivada o Integral definida

La antiderivada es una función f cuya derivada es f es decir f=f. La condición suficiente para que una función f admite una infinidad y que diferente entre sí en una constante.

∫ f obien ∫ f (x) dx 

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces

F(x) = x3 es una antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Cuando se tiene una integral definida en ambos puntos(A y B) primero se hace la antiderivación y luego se sustituye el termino en constante por los números de A y B, por ejemplo, si tenemos dos limites donde A es igual a 4 y B es igual a 2, se hace la antiderivacion de la función primero y luego se sustituyen los términos por el 4 y luego por el 2 y después el resultado se resta del termino A-B y el resultado sale en U2.

Naturalmente las antiderivadas se utilizan para calcular el área bajo la curva de cualquier elemento que tenga dos limites.